معادلات ماكسويل هي أساسيات النظرية الكهرومغناطيسية ، والتي تشكل مجموعة من أربع معادلات تتعلق بالمجالات الكهربائية والمغناطيسية. بدلاً من سرد التمثيل الرياضي لمعادلات ماكسويل ، سنركز على ما هي الأهمية الفعلية لتلك المعادلات في هذه المقالة. تتعامل معادلة ماكسويل الأولى والثانية مع المجالات الكهربائية الساكنة والمجالات المغناطيسية الثابتة على التوالي. تتعامل معادلة ماكسويل الثالثة والرابعة مع المجالات المغناطيسية المتغيرة وتغيير المجالات الكهربائية على التوالي.
معادلات ماكسويل هي:
- قانون غاوس للكهرباء
- قانون جاوس للمغناطيسية
- قانون فاراداي للاستقراء
- قانون امبير
1. قانون غاوس للكهرباء
ينص هذا القانون على أن التدفق الكهربائي من سطح مغلق يتناسب طرديًا مع إجمالي الشحنة التي يحيط بها هذا السطح. يتعامل قانون غاوس مع المجال الكهربائي الساكن.
دعونا نفكر في شحنة نقطية موجبة Q. نحن نعلم أن خطوط التدفق الكهربائي موجهة للخارج من الشحنة الموجبة.
دعونا ننظر سطح مغلقة مع المسؤول Q المغلقة في ذلك. يتم دائمًا اختيار ناقل المساحة "عادي" بالنسبة لها لأنه يمثل اتجاه السطح. دع الزاوية التي يصنعها متجه المجال الكهربائي مع متجه المنطقة تكون θ.
التدفق الكهربائي ψ هو
سبب اختيار حاصل الضرب النقطي هو أننا نحتاج إلى حساب مقدار التدفق الكهربائي الذي يمر عبر السطح الذي يمثله متجه المنطقة العادية.
من قانون كولوم ، نعلم أن المجال الكهربائي (E) الناتج عن شحنة نقطية هو Q / 4πε 0 r 2.
بالنظر إلى التناظر الكروي ، فإن الشكل المتكامل لقانون غاوس هو:
لذلك فإن التدفق الكهربائي Ψ = Q مغلق / ε 0
هنا يمثل Q المرفق مجموع متجه لجميع الشحنات داخل السطح. يمكن أن تكون المنطقة المحيطة بالشحنة بأي شكل ولكن لتطبيق قانون غاوس ، علينا تحديد سطح غاوسي متماثل وله توزيع منتظم للشحنة. يمكن أن يكون السطح الغاوسي أسطوانيًا أو كرويًا أو مستويًا.
لاشتقاق صيغتها التفاضلية ، نحتاج إلى تطبيق نظرية الاختلاف.
المعادلة أعلاه هي الشكل التفاضلي لقانون غاوس أو معادلة ماكسويل الأولى.
في المعادلة أعلاه ، تمثل ρ كثافة شحنة الحجم. عندما يتعين علينا تطبيق قانون غاوس على سطح به شحنة خطية أو توزيع شحنة سطحية ، فمن الأنسب تمثيل المعادلة بكثافة الشحنة.
لذلك يمكننا أن نستنتج أن تباعد المجال الكهربائي على سطح مغلق يعطي مقدار الشحنة (ρ) المحاط به. من خلال تطبيق الاختلاف على حقل ناقل ، يمكننا معرفة ما إذا كان السطح المحاط بحقل المتجه يعمل كمصدر أو بالوعة.
دعونا نفكر في متوازي المستطيلات بشحنة موجبة كما هو موضح أعلاه. عندما نطبق الاختلاف على المجال الكهربائي الخارج من الصندوق (متوازي المستطيلات) ، فإن نتيجة التعبير الرياضي تخبرنا أن الصندوق (متوازي المستطيلات) يعتبر بمثابة مصدر للحقل الكهربائي المحسوب. إذا كانت النتيجة سلبية ، فإنها تخبرنا أن الصندوق يعمل كمغسلة ، أي أن الصندوق يحتوي على شحنة سالبة فيه. إذا كان الاختلاف صفراً ، فهذا يعني أنه لا يوجد شحنة فيه.
من هذا ، يمكننا أن نستنتج وجود أقطاب كهربائية أحادية.
2. قانون جاوس للمغناطيسية
نحن نعلم أن خط التدفق المغناطيسي يتدفق من القطب الشمالي إلى القطب الجنوبي خارجيًا.
نظرًا لوجود خطوط تدفق مغناطيسي بسبب مغناطيس دائم ، سيكون هناك كثافة تدفق مغناطيسي مرتبطة بها (B). عندما نطبق نظرية الاختلاف على السطح S1 أو S2 أو S3 أو S4 ، نرى أن عدد خطوط التدفق الواردة والخروج من السطح المحدد يظل كما هو. لذلك فإن نتيجة نظرية الاختلاف هي صفر. حتى في السطح S2 و S4 ، يكون الاختلاف صفرًا ، مما يعني أنه لا القطب الشمالي ولا القطب الجنوبي يعملان بشكل فردي كمصدر أو بالغرق مثل الشحنات الكهربائية. حتى عندما نطبق اختلافًا في المجال المغناطيسي (B) بسبب سلك يحمل تيارًا ، فقد تبين أنه صفر.
الشكل المتكامل لقانون غاوس للمغناطيسية هو:
الشكل التفاضلي لقانون غاوس للمغناطيسية هو:
من هذا ، يمكننا أن نستنتج أن أحادي القطب المغناطيسي غير موجود.
3. قانون الاستقراء فاراداي
ينص قانون فاراداي على أنه عندما يكون هناك تغيير في التدفق المغناطيسي (يتغير فيما يتعلق بالوقت) يربط ملفًا أو أي موصل ، فسيكون هناك EMF مستحث في الملف. صرح Lenz أن EMF المستحث سيكون في اتجاه بحيث يعارض التغيير في التدفق المغناطيسي الناتج عنه.
في الرسم التوضيحي أعلاه ، عندما يتم وضع لوحة موصلة أو موصل تحت تأثير مجال مغناطيسي متغير ، يتم تحريض تيار دائري فيه. يتم تحفيز التيار في مثل هذا الاتجاه بحيث يقاوم المجال المغناطيسي الناتج عنه المغناطيس المتغير الذي أنشأه. من هذا الرسم التوضيحي ، يتضح أن تغيير أو تغيير المجال المغناطيسي يخلق مجالًا كهربائيًا دائريًا.
من قانون فاراداي ،
emf = - dϕ / ديناراً
نحن نعرف ذلك،
ϕ = سطح مغلق ʃ ب. dS emf = - (d / dt) ʃ ب. دي اس
المجال الكهربائي E = V / d
V = ʃ E.dl
نظرًا لأن المجال الكهربائي يتغير فيما يتعلق بالسطح (الضفيرة) ، يوجد فرق جهد V.
لذلك فإن الشكل المتكامل لمعادلة ماكسويل الرابعة هو ،
بتطبيق نظرية ستوك ،
السبب في تطبيق نظرية Stoke هو أنه عندما نأخذ تجعيدًا لحقل دوار فوق سطح مغلق ، فإن مكونات الالتفاف الداخلية للمتجه تلغي بعضها البعض وهذا يؤدي إلى تقييم حقل المتجه على طول المسار المغلق.
ومن ثم يمكننا كتابة ذلك ،
الشكل التفاضلي لمعادلة ماكسويل هو
من التعبير أعلاه ، من الواضح أن المجال المغناطيسي المتغير فيما يتعلق بالوقت ينتج مجالًا كهربائيًا متداولًا.
ملحوظة: في الكهروستاتيكية ، يكون التفاف المجال الكهربائي صفرًا لأنه يخرج شعاعيًا للخارج من الشحنة ولا يوجد أي مكون دوار مرتبط به.
4. قانون امبير
ينص قانون Ampere على أنه عندما يتدفق تيار كهربائي عبر سلك ، فإنه ينتج مجالًا مغناطيسيًا حوله. رياضيًا ، يعطي الخط المتكامل للمجال المغناطيسي حول حلقة مغلقة إجمالي التيار المحاط به.
ʃ B .dl = μ 0 I المغلقة
نظرًا لأن المجال المغناطيسي يلتف حول السلك ، يمكننا تطبيق نظرية Stoke على قانون Ampere.
لذلك تصبح المعادلة
يمكننا تمثيل التيار المغلق بدلالة كثافة التيار J.
ب = μ 0 H باستخدام هذه العلاقة ، يمكننا كتابة التعبير على هذا النحو
عندما نطبق الاختلاف على تجعيد حقل متجه دوار ، تكون النتيجة صفرًا. ذلك لأن السطح المغلق لا يعمل كمصدر أو مغسلة ، أي أن عدد التدفق الداخل والخارج هو نفسه. يمكن تمثيل ذلك رياضيًا على أنه
دعونا نفكر في الدائرة كما هو موضح أدناه.
الدائرة بها مكثف متصل بها. عندما نطبق الاختلاف في المنطقة S1 ، تظهر النتيجة أنه ليس صفريًا. في التدوين الرياضي ،
يوجد تدفق تيار في الدائرة ، ولكن في المكثف ، يتم نقل الشحنات بسبب تغير المجال الكهربائي عبر الألواح. لذا فعليًا لا يتدفق التيار من خلاله. صاغ ماكسويل هذا التدفق الكهربائي المتغير كتيار إزاحة (J D). لكن ماكسويل صاغ مصطلح تيار الإزاحة (J D) مع الأخذ في الاعتبار تناظر قانون فاراداي ، أي إذا كان المجال المغناطيسي المتغير في الزمن ينتج مجالًا كهربائيًا ، فبالتناظر ، ينتج المجال الكهربائي المتغير مجالًا مغناطيسيًا.
التفاف شدة المجال المغناطيسي (H) في المنطقة S1 هو
يمكن التعبير عن الشكل المتكامل لمعادلة ماكسويل الرابعة على النحو التالي:
الشكل التفاضلي لمعادلة ماكسويل الرابعة هو:
تسمى كل هذه المعادلات الأربع إما في شكل متكامل أو في شكل تفاضلي معًا باسم معادلة ماكسويل.